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如何证明二元函数连续 判断二元函数连续的三种方法
网友投稿2023-08-16【美食美味】人已围观
大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下如何证明二元函数连续的问题，以及和判断二元函数连续的三种方法的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！
二元函数可微分必连续如何证明
具体证明步骤如下：
证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y
而||≤|α|+|β|,
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin(x+y≠0)0(x+y=0),
因为f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0(x+y=0)
所以f(x,y)=(2xsin-cos),
其中2xsin=0,
而cos中,若取路径y=x,
显然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而=(△x+△y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。
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扩展资料：
设平面点集D包含于R2,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一的实数z与之对应,则称f为在D上的二元函数.且称D为f的定义域,P对应的z为f在点P的函数值,记作z=f(x,y);全体函数值的集合称为f的值域。
设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的某邻域内有定义,对这个邻域中的点P(x,y)=(x0+△x,y0+△y),若函数f在P0点处的增量△z可表示为:
△z=f(x0+△x,y+△y)-f(x0,y0)=A△x+B△y+o(ρ),其中A,B是仅与P0有关的常数,ρ=〔(△x)^2+(△y)^2〕^0.5.o(ρ)是较ρ高阶无穷小量,即当ρ趋于零是o(ρ)/ρ趋于零。则称f在P0点可微。
怎么判断二元函数在某点是否连续，是否存在偏导
不能的，考虑f(x,y)定义如下：对于任意正实数a，f(a,a)=1。在此之外，f(x,y)=0 在原点处，偏导数存在且为零，但是在原点不连续。
怎么证明二元函数可微必连续
具体证明步骤如下：
证明二元函数的可微性即证明二元函数可微的一个充分条件：
若z=f(x,y)在点M(x,y)的某一邻域内存在偏导数f、f,且它们在点M处连续,则z=f(x,y)在点M可微。
证明:由于偏导数在点M(x,y)连续,0<θ,θ<1,α=0,
△z=f(x+△x,y+△y)-f(x,y)
=[f(x+△x,y+△y)-f(x,y+△y)]+[f(x,y+△y)-f(x+y)]
=f(x+θ△x,y+△y)△x+f(x,y+θ△y)△y
=[f(x,y)+α]△x+[f(x,y)+β]△y
=f(x,y)△x+f(x,y)△y+α△x+β△y
而||≤|α|+|β|,
所以△z=f(x,y)△x-f(x,y)△y+o(ρ),即f(x,y)在点M可微。
注意:定理4的逆定理不成立。即:偏导数存在且连续是可微的充分非必要条件。
例如:f(x,y)=(x+y)sin(x+y≠0)0(x+y=0),
因为f(0,0)===0,同理:f(0,0)=0,所以f(x,y)在(0,0)点的偏导数存在。
又f(x,y)=2xsin+(x+y)cos(x+y≠0)0(x+y=0)
所以f(x,y)=(2xsin-cos),
其中2xsin=0,
而cos中,若取路径y=x,
显然cos=cos不存在,所以f(x,y)不存在。
因此f(x,y)在点(0,0)处偏导数存在但不连续。
而=(△x+△y)sin=0,所以f(x,y)在(0,0)点可微。
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